هل عملية الضرب عملية ابدالية ام جمع متكرر ؟

 

مفهوم متعدد

الضرب والجمع هما العمليتان الأساسيتان للحساب والجمع المتكرر يتضمن جمع أعداد متساوية ، لذلك يمكن تسمية الجمع المتكرر بالضرب ، وذلك لأنه إذا كان العدد نفسه مرارًا وتكرارًا ، فيمكننا كتابة هذا كضرب.

على سبيل المثال: 2 + 2 + 2 + 2 + 2

هنا 2 مكرر 5 مرات ، إذن يمكننا كتابة هذه الجمع 5 × 2.

وبالمثل ، لحل عملية الضرب في مسألة الجمع المتكرر ، نجمع العدد مرات ومرات ونضيف العدد نفسه مرات ومرات للحصول على الإجابة.

فيما يلي بعض الأمثلة على صيغ الجمع العادية:

• 3 + 3 + 3 = 9 ، 3 × 3 = 9
• 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ، 2 × 4 = 8
• 4 + 4 + 4 = 12 ، 4 × 3 = 12
• 5 + 5 + 5 + 5 = 20 ، 5 × 4 = 20

الجمع المتكرر مفيد أيضًا في تعلم حقائق الضرب ، على سبيل المثال ، إذا لم يعرف المرء نتيجة ضرب 7 × 3 ، فقد يكون من الأسهل حساب 7 × 3 في 3 + 3 + 3 + 3 اكتب + 3 + 3 + 3 أو 7 + 7 + 7 الجواب هو نفسه.

يمكن أن يكون مفيدًا أيضًا مع الأعداد الكبيرة مثل 5 × 40 ، سيكون من الأسهل كتابة 40 + 40 + 40 + 40 + 40 ثم جمع العشرات.

هل الضرب متبادل؟

تتعامل خاصية المعاملة بالمثل مع العمليات الحسابية للجمع والضرب ، مما يعني أن ترتيب أو موضع الأرقام والجمع أو الضرب لا يغير النتيجة النهائية.

على سبيل المثال ، 4 + 5 يعطي 9 ، و 5 + 4 يعطي 9.

لا يؤثر ترتيب جمع الأرقام على عملية الجمع ، ونفس المفهوم ينطبق أيضًا على الضرب ، لكن خاصية المعاملة بالمثل لا تنطبق على الطرح والقسمة ، لأن النتائج النهائية تختلف تمامًا في ترتيب أرقام التغيير.

ما نعنيه بالمعنى التبادلي هو التنقل ، ومن ثم تتعامل الخاصية التبادلية مع أرقام الحركة والحركة ، لذا إذا كان ترتيب المعاملات لا يغير نتيجة الحساب ، فإن الحساب يؤكد ذلك. العملية متبادلة. بخلاف ذلك ، يكون للأرقام خصائص أخرى مثل الخاصية الترابطية ، خاصية التوزيع ، والتي تختلف عن خاصية تبادل الأرقام.

تنص الخاصية التبادلية للجمع على أن ترتيب الإضافات لا يغير قيمة المجموع ، وهناك حالات نحتاج فيها إلى إضافة أكثر من رقمين.

تكون الخاصية المقلوبة صحيحة حتى إذا تمت إضافة أكثر من رقمين ، على سبيل المثال:

• 10 + 20 + 30 + 40 = 100
• 40 + 30 + 20 + 10 = 100 أيضًا.

يكون المجموع 100 في كلتا الحالتين حتى عندما يتم تغيير ترتيب الأرقام ، أي إذا كان “A” و “B” رقمين ، فيمكن إظهار الخاصية المتبادلة للأرقام.

هل الضرب جمع متكرر؟

قد تكون الإجابة واضحة لك ، ولكن ما إذا كان هذا صحيحًا وكيف ينبغي تدريسه هو موضوع نقاش ساخن في تعليم الرياضيات.
أخيرًا ، لمجرد أن عمليتين لهما نفس النتائج ، لا يعني أنه يمكننا استنتاج أنهما يمثلان نفس العملية ، أي أن هذا الادعاء الرئيسي هو أن عمليات الضرب والجمع مختلفة اختلافًا جوهريًا ، لكنهما مرتبطان ببعضهما البعض ، على الأرقام.
الإضافة هي عملية تتوافق مع التكامل في العالم الحقيقي ، والضرب هو عملية تتوافق مع القياس.
قد يطالب مؤيدو هذا الرأي بالضرب لإعطاء الإجابة الصحيحة على الإضافة المتكررة كأداة مفيدة ، ولكن سيكون من الخطأ تعريف الضرب على أنه إضافة متكررة.
رأي آخر هو أن هذا ليس صحيحًا: لا يحدث فقط الجمع والضرب مرارًا وتكرارًا للحصول على نفس الإجابة ، بل تظهر نفس النتيجة لأنهما في الواقع متماثلان.

لدينا هاتان العمليتان على الأعداد الصحيحة:

• أضف 3 + 2 = 5
• اضرب 3 × 2 = 6.

في أحيان أخرى ، تُفهم الإضافة المتكررة على أنها طريقة لتعليم الضرب عن طريق تحويل المبالغ إلى سلسلة من الإضافات المتكررة.

هذا ، ببساطة ، إذا اعتبرنا أن الجمع المتكرر هو تجميع مجموعات من الأرقام معًا مرارًا وتكرارًا ، فهو نوع من الضرب ، والذي يستخدم لتعليم الأطفال آلية الضرب.

على سبيل المثال ، قد يرغب المعلم في مساعدة الطفل في العثور على الإجابة “4 × 4”.

بدلاً من الاعتماد على جداول الضرب ، سيطلبون من الطالب 4 مجموعات من 4 بدلاً من ذلك.

يمكن للطفل بعد ذلك كتابة المجموع كـ “4 + 4 + 4 + 4” ، والذي يتم إضافته بشكل متكرر.

يمكننا أن نرى نفس الشيء مرة أخرى مع “5 × 2”.

إذا كتبناها بدلاً من ذلك كـ “5 + 5” أو “2 + 2 + 2 + 2 + 2 ، أو إذا أضفنا خمسة مرتين ، أو إذا أضفنا اثنين معًا خمس مرات ، فإن الإجابة هي عشرة ، نحصل على نفس الإجابة.

طريقة الضرب

عندما نتعلم الضرب ، نتعلم تقسيم المعادلة إلى أجزاء ، أولاً نحصل على حاصل الضرب باستخدام القيمة المكانية للآحاد ، ثم ننتقل إلى الكسر العشري ، ثم المئات.

وأخيرًا نلخص كل ذلك ونحصل على إجابتنا. تعمل هذه الطريقة بشكل رائع ولكنها ليست دائمًا الأكثر فاعلية. فيما يلي بعض الطرق الأخرى التي يمكنها تسريع العملية.
في هذه الأمثلة ، أستخدم أرقامًا مكونة من 2 و 3 أرقام ، وهذه الطرق تعمل أيضًا مع أعداد أكبر ، مثل:

• وضع الشبكة

سترسم فيها شبكة وتقسم كل مربع بقطر ، ثم تكتب رقمًا في الأعلى ، وآخر على اليمين ، برقم واحد في كل عمود أو صف.

• طريقة خطية

تعمل هذه الطريقة بشكل جيد للغاية مع الأرقام المكونة من 2 و 3 أرقام عندما تكون الأرقام صغيرة ، ويمكن أن تكون صعبة بعض الشيء عندما يكون لديك الكثير من السطور لتخطيها.
ارسم سلسلة من الخطوط المتوازية التي تمثل كل رقم من الرقم الأول ، يجب أن تكون الخطوط بزاوية 45 درجة تقريبًا ويجب أن تكون هناك فجوة بين كل رقم.

خصائص متعددة

هناك عدة خصائص مرتبطة بعملية الضرب ، منها:

• خصائص متعددة قابلة للتبديل

تنص الخاصية المقلوبة للضرب على أن الإجابة تظل كما هي عند ضرب الأرقام ، حتى لو تغير ترتيب الأرقام ، ولا يغير ترتيب الضرب النتيجة.

على سبيل المثال ، دعنا نفكر في الرقمين 3 و 5.

عندما نضرب 3 أسهم في 5 ، نحصل على 3 × 5 = 15

• الخاصية البديلة من الضرب

الآن عندما نعكس ترتيب الضرب ، نحصل على 5 مجموعات من 3

أي 5 × 3 = 15

2 هي خاصية مقلوبة في الضرب

نظرًا لأن الإجابة هي نفسها في كلتا الحالتين ، فيمكننا القول إن الضرب مقلوب.

• ميزة التجميع

ما تقوله الخاصية الترابطية للضرب هو أننا إذا ضربنا أي رقم معًا ، فسيظل الناتج أو الناتج هو نفسه دائمًا بغض النظر عن الترتيب الذي نضرب به الأرقام.

على سبيل المثال: لنفكر في أي ثلاثة أرقام ، لنقل 2 و 3 و 4 وضربهم.

1. الحالة الأولى: يمكننا تجميع الأرقام على أنها 2 × (3 × 4)
   إجابتنا هي: 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
2. الحالة الثانية: يمكننا تجميع الأرقام كـ (2 × 3) × 4
   إذن إجابتنا هي: (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

الخواص المصاحبة للضرب في 2

كما هو الحال في كلتا الحالتين ، فإن الإجابة التي نحصل عليها هي نفسها ، بغض النظر عن الترتيب الذي يتم به ضرب الأرقام. لذلك ، فإن الضرب هو ترابطي.

• خاصية التوزيع الضرب

تنص الخاصية التوزيعية للضرب على أنه يمكن توزيع الضرب على الجمع والطرح.

تساعدنا هذه الميزة في حل الأسئلة الموضوعة بين قوسين ، وكذلك تسريع حساباتنا الذهنية.

على سبيل المثال ، لنفكر في الحساب 2 × (3 + 1)

الحالة الأولى إذا أضفنا أولاً:

إذن إجابتنا هي: 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8

في الحالة الثانية ، إذا قسمنا الضرب على الإضافة ، فسيكون حاصل الضرب:

2 × (3 + 1) = 2 × 3 + 2 × 1 = 6 + 2 = 8

كما في كلتا الحالتين ، فإن الإجابة التي نحصل عليها هي نفسها ، وبالتالي يتم مضاعفة التوزيع.

• خصائص هوية متعددة

تقول خاصية الهوية الخاصة بالضرب أنه إذا قمت بضرب أي رقم في 1 ، فستكون الإجابة دائمًا هي نفس الرقم.

على سبيل المثال ، لنفكر في أي رقم ونضربه في 1.

• 3 × 1 = 3
• 7 × 1 = 7